統計的検定を習得する(その陸) 対応のある母平均の差の検定

統計的検定

統計的検定(その伍:対応のない母平均の差の検定)の続編です。

この記事では、対応のある2つの正規分布における母平均の差の統計的検定について、初心者の方にもわかりやすいよう例題を交えながら解説しています。

また、対応のある母平均の差の検定は、エクセルのアドインの分析ツールを用いて、簡単に検定統計量やP値を求めることができます。

分析ツールの使い方や計算式の内容についても解説しますので、参考になればうれしいです。

なお、統計的検定の概念とメリット、登場する用語の意味など、その壱から段階を追って説明しています。

さまざまな検定の種類を網羅的に学習したい方は、ぜひ最初から読んでみてください。

統計的検定を習得する(その壱) まず概念と用語を理解しよう
統計的検定とは、母集団に関して立てたとある仮説が成立するか否か、背理法の考え方を用いて標本データから確率論的に結論を導き出す検定のことです。この記事では、統計的検定の概念とメリット、登場する用語の意味、検定の大まかな手順について解説しています。

対応のあるデータとは?

2つの母集団のデータに関連がある場合で、例えば、とある病気の患者に薬を投与した際の効果を比較するケースなどに用いられる手法です。

そのため、2つのデータのサンプルサイズは同じであり、また、それぞれの対応関係が入れ替わらないようサンプリング番号の対応も決まっています

とらまる
とらまる

順番がばらばらだと正しく差を取れないから気を付けよう

「対応のないデータ」と間違えやすいので、それぞれの特徴に注意しながら使いこなせるようにしておきましょう。

対応のある母平均の差の検定

検定統計量

対応のあるデータの母平均の差の確率分布は、対応のないデータの場合と同様にt分布に従います

t分布とは以下の数式により求められる統計量t値が従う確率分布のことです。

$\bar{x}$は標本平均$μ$は母平均$s^{2}$は不偏分散$n$は自由度を表します。

詳しくは別の記事で解説していますので、合わせてご覧ください。

t分布とは? 活用の用途、エクセル関数の使い方を解説
t分布とは、母集団の分散や標準偏差が未知の場合において、標本の標準偏差を用いて標本平均を標準化したときの値「t」が従う確率分布のことです。この記事では、t分布の定義と性質、活用の用途、期待値と分散の導出の仕方、エクセルやt分布表から確率を求める手順について解説しています。

t分布では、分布の横軸(値)に対して、全体の何%を占めているのか対応する確率が決まっており、エクセルのT.DIST関数t分布表で簡単に求められます。

そして、この値を検定統計量として用いることで、母平均の差に対する検定を行うことができるのです。

検定統計量は、以下の数式で表されます。

$\bar{d}$は対応するデータの差の平均値$μ$は母平均の差$s^{2}$はデータの差の不偏分散$n$はサンプルサイズを表します。

対応のないデータの場合と異なるのは、それぞれのデータが一対になっているので、「データの差」をパラメータとした統計量を用いることです。

元のデータは2つの集団から構成されますが、最初にデータの差を取って平均値と不偏分散を計算すれば、あとは1つの母平均に関する検定と同じ考え方です。

平均値に関する検定は、その壱の記事で詳しく解説していますので、合わせてご覧ください。

統計的検定を習得する(その壱) まず概念と用語を理解しよう
統計的検定とは、母集団に関して立てたとある仮説が成立するか否か、背理法の考え方を用いて標本データから確率論的に結論を導き出す検定のことです。この記事では、統計的検定の概念とメリット、登場する用語の意味、検定の大まかな手順について解説しています。

検定の手順

それでは、実際に母平均の差の検定をやってみましょう。

以下は、とある病気の患者に薬を投与したときの検査データの結果です。

投与前後の分布がそれぞれ正規分布に従うとき、母平均に差があると言えるでしょうか?

1.仮説を設定する

まずは、検証したい目的に合致した帰無仮説$H_{0}$と対立仮説$H_{1}$を設定します。

投与前後の母平均に差があることを背理法で証明したいので、帰無仮説を「$H_{0}:μ=0$」、すなわち「投与前後の母平均に違いがない」と設定します。

また、対立仮説は本来の目的である証明したい仮説として、「投与前後の母平均の差は0とは言えない」とします。

$H_{0}:μ=0$
$H_{1}:μ≠0$(両側検定)

対立仮説を「$H_{1}:μ>0$(投与前の母平均の方が小さい)」と設定した場合には、片側検定となるので間違えないように注意しましょう。

2.データの差を求める

2つの集団の対応するデータの差を取ります。

元データを使用するのはここまでで、以降では「データの差」をパラメータに扱います。

3.平均値と不偏分散を求める

先ほど求めたデータの差に対して平均値と不偏分散を求めます。



4.検定統計量を算出する

定義の数式に従い、検定統計量$t_{0}$を求めます。



5.帰無仮説の棄却/採択を判定する

検定統計量の値から帰無仮説の棄却/採択を判定します。

両側検定の場合、先ほど求めた検定統計量$t_{0}$と有意水準に対応するt値との間に、以下の関係が成り立つと帰無仮説が棄却されます。

t分布表から対応する自由度と有意水準におけるt値を読み取ります。

ここで注意が必要なのが、「対応のない母平均の差」とは異なり、自由度はデータの対になる数をサンプルサイズとした場合のことで、今回のケースでは$φ=10-1=9$となります。

ちなみに、エクセルのT.INV.2T関数T.INV関数を用いてもt値を求めることができます。

T.INV.2T関数とは、t分布の両側確率の逆関数を表すもので、今回の場合、$=T.INV.2T(0.05,9)$と入力すると同じ値が得られます。

また、T.INV関数は下側(左側)確率の逆関数を表すもので、片側検定を行う場合に用いると有効です。



6.検定の結論を導く

検定の結果から、今回の結論を出します。

すなわち、「母平均に違いがあるとは言えない

両側検定は絶対値で判定するんだったね

エクセルを用いた検定

エクセルの分析ツールを使ってt検定を容易に行うことができます。

分析ツールのアドインの設定のしかた、P値の意味や結果の判定のしかたについては、前章で詳しく解説していますので、ぜひご覧ください。

統計的検定を習得する(その伍) 対応のない母平均の差の検定
対応のない母平均の差に関する統計的検定を行う場合、t分布を用いて計算します。この記事では、母平均の差の検定について、帰無仮説と対立仮説の設定のしかた、検定統計量の計算方法、検定手順、エクセルの分析ツールの使い方を解説しています。

分析ツールの使い方

まずはツールを起動する前に、検定に用いるデータをエクセルに入力します。

「データ」タブを選択し、「データ分析」をクリックして立ち上げます。



「t検定:一対の標本による平均の検定」を選択して「OK」を押します。

変数1と変数2の入力範囲に対応するデータを選択し、有意水準αを設定します。

仮説平均との差異については、今回の場合、平均値に差がないことを示したいのでゼロとします。

結果を記載する出力先を設定して、「OK」を押します。

結果の見かたと計算式

平均:標本データの平均値
分散:標本データの不偏分散
観測数:標本データのサンプルサイズ
ピアソン相関:標本どうしの相関係数
:標本データから求めた検定統計量
t境界値片側:片側検定において有意水準αとなるt値
t境界値両側:両側検定において有意水準αとなるt値

得られたt値が先ほどの計算結果と合致することが分かりますね。

まとめ

  • 対応のある母平均の差に関する検定統計量
    ⇒t分布のt値を用いる
     サンプルサイズは同一、データの並び順に注意
  • 検定の手順
    ⇒仮説を設定する
     データの差を求める
     平均値と不偏分散を求める
     検定統計量を算出する
     帰無仮説の棄却/採択を判定する
     検定の結論を導く

その陸編は以上です。 最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

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この記事を書いた人
こてつ

【経歴】
関東在住の37歳、大手電機メーカの生産技術職。
これまで、研究開発、設計、生産技術、仕入先の品質管理を手掛ける。

【保有知識・技術分野】
統計学、信頼性工学、品質工学。
半導体、基板、有機材料、金属、セラミックスの材料、製造、加工技術。
部品加工(機械加工、化学処理)、組立技術、分析・物理解析技術。

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品質・生産の基礎知識をテーマに、用語の解説、使い方(作り方)、メリット、考え方のポイントを見習いエンジニア”とらまる”と一緒に分かりやすく解説しています。

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