統計的検定を習得する(その捌) 2つの母不適合品率の差の検定

統計的検定

統計的検定(その漆:母不適合品率の検定)の続編です。

この記事では、2つの母不適合品率(母比率)の統計的検定について、初心者の方にもわかりやすいよう例題を交えながら解説しています。

なお、統計的検定の概念とメリット、登場する用語の意味など、その壱から段階を追って説明しています。

さまざまな検定の種類を網羅的に学習したい方は、ぜひ最初から読んでみてください。

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また、この記事では、その漆の続編として母不適合品率の定義や二項分布との関係性についての基本的な説明を省略しています。

あらためて定義から確認したいという方は、合わせて参考にしていただければと思います。

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2つの母不適合品率の差の検定

検定統計量

2つの母不適合品率の差の確率分布に関しても、1つの母不適合品率と同様に、標準正規分布$N(0,1)$に従います

標準正規分布では、分布の横軸($Z$値)に対して、全体の何%を占めているのか対応する確率が決まっており、エクセルのNORM.S.DIST関数標準正規分布表で簡単に求められます。

2つの集団を$A, B$と名付けると、母不適合品率の差の検定統計量は以下のように表されます。

$A$と$B$はそれぞれの集団を意味し、$\bar{p}_{A}$, $\bar{p}_{B}$は標本不適合品率$p_{A}, p_{B}$は母不適合品率$n_{A}, n_{B}$はサンプルサイズを表します。

計算式の構造は、1つの母不適合品率の場合と同じなので覚えやすいですね。

そして、統計的検定では帰無仮説として母不適合品率に差がないことを仮定するので、$p=p_{A}=p_{B}$と置くと、先ほどの式は以下のように変換されます。



ここで、$p$は$A$と$B$を合わせた平均不適合率として、以下のように標本データから推定量を定義します。

$x_{A}, x_{B}$はそれぞれの不良数を表します。

この式に標本データから得られた不適合品率とサンプルサイズを代入することで、検定統計量を求めることができます。

とらまる
とらまる

不良数とサンプルサイズが分かればOKってことだね

検定の手順

それでは、実際に母不適合品率の差の検定をやってみましょう。

例題

とある製品の抜取検査を行ったところ、ラインAでは1000個のうち10個の不良、ラインBでは1000個のうち4個の不良が発見されたとき、ラインAとBの母不適合品率に差があると言えるでしょうか?


1.仮説を設定する

まずは、検証したい目的に合致した帰無仮説$H_{0}$と対立仮説$H_{1}$を設定します。

2つの母不適合品率に違いがあることを背理法で証明したいので、帰無仮説を「$H_{0}:p_{A}=p_{B}$」、すなわち「2つのラインの不良率に違いがない」と設定します。

また、対立仮説は本来の目的である証明したい仮説として、「2つのラインの不良率に違いがある」とします。

$H_{0}:p_{A}=p_{B}$
$H_{1}:p_{A}≠p_{B}$(両側検定)



2.検定統計量を算出する

定義の数式に従い、検定統計量$Z$を求めます。



3.帰無仮説の棄却/採択を判定する

検定統計量の値から帰無仮説の棄却/採択を判定します。

判定の指標には、標準正規分布の$Z$値を用います。

通常、統計的検定では、有意水準$α=0.05$や$α=0.01$を基準として用います。

つまり、本当は帰無仮説が正しいのに、誤って棄却してしまう確率が$α=0.05$の場合は5%、$α=0.01$なら1%となる状態のことです。



エクセルで標準正規分布の累積分布関数の逆関数を表すNORM.S.INV関数を使えば、$α=0.05$における棄却域を以下のように求められます。

先ほどの検定統計量と比較すると、以下の関係であることが分かります。

5%の棄却域に入っていない状態、つまり帰無仮説が採択されます。



4.検定の結論を導く

検定の結果から、今回の結論を出します。

2つのラインの不良率に違いがあるとは言えない

まとめ

  • 2つの母不適合品率の差に関する検定統計量
    ⇒標準正規分布の$Z$値を用いる
  • 検定の手順
    ⇒仮説を設定する
     検定統計量を算出する
     帰無仮説の棄却/採択を判定する
     検定の結論を導く

その捌編は以上です。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

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この記事を書いた人
こてつ

【経歴】
関東在住の37歳、大手電機メーカの生産技術職。
これまで、研究開発、設計、生産技術、仕入先の品質管理を手掛ける。

【保有知識・技術分野】
統計学、信頼性工学、品質工学。
半導体、基板、有機材料、金属、セラミックスの材料、製造、加工技術。
部品加工(機械加工、化学処理)、組立技術、分析・物理解析技術。

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品質・生産の基礎知識をテーマに、用語の解説、使い方(作り方)、メリット、考え方のポイントを見習いエンジニア”とらまる”と一緒に分かりやすく解説しています。

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