一様分布とは? 期待値と分散の導出、離散型と連続型の特徴

統計学の基礎

「一様分布ってどのような分布なの?」
「期待値と分散の計算の仕方を知りたい」
「離散型と連続型の違いを知りたい」

このような疑問や悩みをお持ちの方に向けた記事です。

一様分布とは、ある区間における発生確率が全て同じとなる確率分布のことで、最も単純で基本的な分布の一つです。

例えば、サイコロの目のように全ての目が1/6の確率で出る事例やルーレットの目の事例など、身近なものも多くみられます。

この記事では、一様分布の定義、期待値と分散の導出の仕方、離散型と連続型の違いや特徴について解説しています。

他の確率分布と比べて計算も簡単なので、ぜひ覚えておきましょう。

一様分布の種類

とらまる
とらまる

一様って、そろっているってこと?

一様分布とは、ある区間における発生確率が全て同じとなる確率分布のことです。

確率変数の性質によって、離散一様分布連続一様分布に分類されます。

離散型とは、確率変数が不連続な値を取る分布のことで、例えばサイコロの目のように、個数などの計数値が変数となります。

確率変数がある値xを取る場合の確率を確率質量関数f(x)と呼び、離散一様分布のf(x)は、以下のように表されます。

一方、連続型とは、確率変数が連続的な値を取る分布のことで、長さや質量といった計量値が変数となります。

連続型の場合、確率変数がある値xにおける発生のしやすさを関数に表した確率密度関数f(x)が用いられ、連続一様分布のf(x)は、以下のように表されます。

いずれも、総区間の確率の総和が1であることは、共通した性質です。

確率分布の種類、確率密度関数の特徴については、別の記事で詳しく解説していますので、合わせて参考にしていただければと思います。

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離散一様分布

期待値と分散

離散一様分布の期待値E(X)と分散V(X)は、以下の数式で求めることができます。

累積分布関数のグラフ

累積分布関数とは、確率変数がある値以下となる確率の関数のことで、以下の数式で定義されます。

離散一様分布の場合、確率変数が自然数となるので、離散的な点のデータが並ぶグラフになります。

自然数の間の区間は、小数点以下を切り捨てた自然数と同じ値になるので、累積分布関数は階段状になることが特徴的です。

タクシー料金のグラフと似てるね

連続一様分布

期待値と分散

連続一様分布の期待値E(X)と分散V(X)は、以下の数式で求めることができます。

累積分布関数のグラフ

連続型の場合、以下の数式で定義されます。

連続一様分布の場合、確率変数が連続的な値を取るので、以下のように一定の傾斜を持ったグラフになります。

確率の総和は1になるので、グラフの縦軸は、0~1の範囲内となります。

例題

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まとめ

  • 一様分布
    ⇒ある区間における発生確率が全て同じとなる確率分布のこと
  • 期待値
    ⇒離散型:(n+1)/2
    ⇒連続型:(b+a)/2
  • 分散
    ⇒離散型:(n^2-1)/12
    ⇒連続型(b-a)^2/12

「一様」という名前だけ見ると、難しそうな印象がありますが、とてもシンプルで分かりやすい確率分布なので、ぜひ覚えておきましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

この記事で紹介した一様分布は、統計的品質管理を実践する上での基本要素の一つです。

製造業に携わるエンジニアであれば、その他の統計的手法はもちろんのこと、品質管理、生産の基礎知識を幅広く身につけておく必要があります。

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この記事を書いた人
こてつ

【経歴】
関東在住の37歳、大手電機メーカの生産技術職。
これまで、研究開発、設計、生産技術、仕入先の品質管理を手掛ける。

【保有知識・技術分野】
統計学、信頼性工学、品質工学。
半導体、基板、有機材料、金属、セラミックスの材料、製造、加工技術。
部品加工(機械加工、化学処理)、組立技術、分析・物理解析技術。

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